The tiered Aubry set for autonomous Lagrangian functions

Let L : T M → R be a Tonelli Lagrangian function (with M compact and connected and dim M ≥ 2). The tiered Aubry set (resp. Mañé set) A T (L) (resp. N T (L)) is the union of the Aubry sets (resp. Mañé sets) A(L + λ) (resp. N (L + λ)) for λ closed 1-form. Then : 1. the set N T (L) is closed, connected and if dim H 1 (M) ≥ 2, its intersection with any energy level is connected and chain transitive; 2. for L generic in the Mañé sense, the sets A T (L) and N T (L) have no interior; 3. if the interior of A T (L) is non empty, it contains a dense subset of periodic points. Then, we give an example of an explicit Tonelli Lagrangian function satisfying 2 and an example proving that when M = T 2 , the closure of the tiered Aubry set and the closure of the union of the K.A.M. tori may be different. Résumé Soit L : T M → R un lagrangien de Tonelli (avec M compacte et connexe et dim M ≥ 2). L'ensemble d'Aubry (resp. de Mañé) ´ etagé A T (L) (resp. N T (L)) est la réunion des ensembles d'Aubry (resp. de Mañé) A(L + λ) (resp. N (L + λ)) pour λ 1-forme fermée. On montre : 1. N T (L) est fermé, connexe et si dim H 1 (M) ≥ 2, sa trace avec chaque niveau d'´ energie est connexe et transitive par chaˆıne; 1 2. si L est générique au sens de Mañé, les ensembles A T (L) et N T (L) sont d'intérieur vide; 3. si l'intérieur de A T (L) est non vide, il contient une partie dense de points périodiques. On donne ensuite un exemple explicite satisfaisant 2 et un exemple montrant que si M = T 2 , A T (L) peutêtre différent de l'adhérence de la réunion des tores K.A.M.